On considère, pour notre étude, un espace de probabilité filtré \((\Omega, \mathcal{F}, (\mathcal{F}_t)_{t\geq 0}, \mathbb{P})\).
On appelle mouvement brownien (standard) réel un processus stochastique \((B_t)_{t \geq 0}\) qui vérifie les assertions suivantes :
1) \((B_t)_{t \geq 0}\) est adapté à \((\mathcal{F}_t)_{t\geq 0}\),
2) \((B_t)_{t \geq 0}\) est continu,
3) \(B_0=0\),
4) \(\forall h>0, \forall t\geq0, B_{t+h}-B_t \perp \!\!\! \perp \mathcal{F}_t\) et \(B_{t+h}-B_t \overset{\mathcal{L}}{\sim} \mathcal{N}(0,h)\).
On simule alors, ci-après, un tel processus via \(N\) accroissements gaussiens indépendants. L'utilisateur est invité à augmenter le nombre \(N\) d'accroissements pour voir évoluer l'allure de la trajectoire du mouvement brownien.
Le mouvement brownien est un processus stochastique centré, i.e. \(\forall t \geq 0, \mathbb{E}[B_t]=0\).
En simulant plusieurs trajectoires de browniens, l'utilisateur se rendra compte que la courbe moyenne (rouge) oscille faiblement autour de \(0\). Cette propriété (espérance nulle) est illustrée ici par une méthode de Monte Carlo :
Une autre propriété importante pour ces processus stochastiques est leur dépendance mutuelle, autrement dit leur covariance.
Le mouvement brownien étant centré, sa covariance s'écrit alors : $$\forall s,t\geq 0, \text{Cov}(B_s,B_t) = \mathbb{E}[B_sB_t] = s \wedge t.$$
Une construction probabiliste du mouvement brownien est de le voir comme limite d'une marche aléatoire centrée et renormalisée.
Un théorème de Donsker que nous illustrerons ci-dessous est le suivant :
Soient \(X_1, \cdots, X_n \) des v.a. i.i.d. centrées et de variance \(1\). On considère la quantité \( S_n = \sum_{i=0}^{n}X_i\). On a la convergence en loi suivante : $$\left(\frac{S_{\lfloor nt \rfloor }}{\sqrt{n}}\right)_{t \geq 0} \underset{n\to+\infty}{\longrightarrow} \left(B_t\right)_{t\geq 0}, $$ pour \((B_t)_{t\geq 0}\) un mouvement brownien standard.
On commence par contruire une marche aléatoire à \(N\) pas sur [0;1] :
On peut remarquer que plus le nombre de variables aléatoires est grand, plus la trajectoire a un comportement semblable à celui d'un brownien :
Rappelons que le mouvement brownien possède des accroissements gaussiens et indépendants au cours du temps. On peut alors étudier numériquement le comportement de ces derniers.
On considère pour ce faire deux temps \(t_1 \leq t_2\) fixés dans \([0;1]\). Simulons \(N_{sim}\) trajectoires de \((B_t)_{t\geq 0}\), en utilisant l'approche du théorème de Donsker (avec un pas de discrétisation fixé à \(10^{-3}\)). Puis, on trace l'histogramme des différences \(B_{t_2}-B_{t_1}\), que l'on compare à la densité d'une loi \(\mathcal{N}(0,t_2-t_1)\).
On présente dans cette partie une construction analytique du mouvement brownien.
Elle consiste à voir le mouvement brownien comme limite d'une série de fonctions à coefficients aléatoires dans \(L^2([0;1])\).
On appelle base de Schauder la famille définit dans \(L^2([0;1])\) par \(\{s,f_{j,k} | j\in \mathbb{N}, k\in [\![0;2^j-1]\!] \}\) telle que :
- \(s : t \in [0;1[ \longmapsto t \in \mathbb{R}\),
- \(f_{j,k} : t \in [0;1[ \longmapsto f(2^jt-k) \in \mathbb{R}\),
avec \(f : t \in [0;1[ \longmapsto t\mathbb{1}_{[0;\frac{1}{2}[}(t) + (1-t)\mathbb{1}_{[\frac{1}{2};1[}(t) \in \mathbb{R}\).
En particulier, on a \( \text{ } f_{0,0}=f\).
Ces fonctions interviennent dans le théorème de Paul Lévy suivant :
Pour \((W_t)_{t\geq 0}\) un mouvement brownien standard, on a :
\begin{equation} \forall t \in ]0;1[, \quad W_t = \chi s(t) + \sum_{j\geq 0} \sum_{ k = 0}^{2^j-1} \chi_{j,k} f_{j,k}(t),\end{equation}
où \(\chi, (\chi_{j,k})_{j,k} \overset{\text{i.i.d.}}{\sim} \mathcal{N}(0,1)\).
En particulier, on a convergence \(L^2\) de la série du membre de droite de l'égalité vers le mouvement brownien, et même une convergence uniforme.
Il s'agit donc d'une égalité en loi, et même d'une égalité presque-partout.
On utilise maintenant le théorème énoncé pour construire le mouvement brownien. On peut ici modifier la borne supérieure pour les indices \(j\) de la série ainsi que le nombre d'intervalles pour la discrétisation de l'intervalle de temps \([0;1]\).
La double somme entraîne un temps de calcul long.
Dans cette dernière partie, nous étudions le temps de sortie d'un mouvement brownien \((B_t)_{t\geq 0}\) hors d'un intervalle \([a;b]\) pour \(a,b \in \mathbb{R}\). On peut se ramener à ce cas général d'intervalle à partir d'un intervalle centré.
Nous étudierons ici le temps de sortie \(T\) de l'intervalle \([-0,5;0,5]\) défini par : $$T = \text{inf}\{t \geq 0 | B_t \not \in [-0,5;0,5]\},$$ avec la convention \(\inf \{\emptyset\} = + \infty\).
On utilise ici la définition du mouvement brownien (i.e. par les accroissements gaussiens indépendants), qui parait moins complexe et coûteuse à simuler.
On évalue le temps de sortie \(T\), via une méthode de Monte Carlo :
On réalise un histogramme des valeurs des temps de sortie obervées sur \(N_{sim}\) trajectoires du mouvement brownien, ce qui approche la densité de la loi de \(T\).
Pour \(a > 0 \), la densité théorique \(f_a\) de \(T_a = \text{inf}\{t \geq 0 | B_t \not \in [-a;a]\}\) admet une forme explicite : $$\forall t>0, \quad f_a(t)= \frac{\pi}{2a^2} \sum_{k\geq 0} (-1)^k(2k+1)\exp\left( - \frac{(2k+1)^2\pi^2t}{8a^2} \right).$$